| 解：（1）证明：连结OD、DB，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°，
∵E为BC边上的中点，
∴CE=EB=DE，
∴∠EDB=∠EBD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠EDB+∠ODB=∠EBD+ ∠OBD。
在Rt△ABC中，∠EBD+∠OBD=90°，
∴∠EDO=∠EDB+∠ODE=90°。
∵D为⊙O上的点，∴DE是⊙O切线。
（2）解：欲使四边形AOED为平行四边形，只需DE=OA，
∵DE= BC，OA= AB，
∴ BC= AB，即BC=AB，
∴∠ABC=90°，
∴∠CAB=45°，
故当∠CAB=45°时，四边形AOED 是平行四边形
作EF⊥AC，垂足为F，
设CE=EB=ED=k，
∴AB=2k，∴DB= ，∴EF= 。
∴AE= | 
