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若已知a,b,c>0，则（a^2+b^2+c^2)⼀(ab+2bc)的最小值为多少？

2025-05-18 02:24:44

推荐回答（2个）

回答1：

用均值不等式(关键是凑形式)
a^2+b^2+c^2
=a^2+ 1/5b^2 + 4/5b^2 +c^2
≥2√5/5 ab+ 4√5/5bc
=2√5/5 (ab+2bc)

所以最小值是2√5/5,等号成立 c=2a，b=√5a
如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

回答2：

均值不等式:a>0,b>0时, a²+b²>=2ab(当a=b时,取等号)
确实,用它是凑形式.
分母看有ab和2bc,它们的系数1和2不一样,考虑拆分-----5份,一个4份,另一个1份.
考虑都含有b, 只能拆分b²
解:由均值不等式得
a²+b²+c²=(a²+1/5b²)+(4/5b²+c²)>=2√5/5 ab+ 4√5/5bc=2√5/5 (ab+2bc)
(a=√5/5b, c=2√5/5b时,取等号)
∴原式>=2√5/5
故最小值是2√5/5 (a=√5/5b, c=2√5/5b时)