若x>0,y>0，且2x+y=1,则1⼀x+1⼀y的最小值为?

2025-05-19 11:25:05

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回答1：

若x>0,y>0，且2x+y=1
则1/x+1/y=(2x+y)*(1/x+1/y)=2+1+2x/y+y/x
=3+2x/y+y/x
≥3+2√(2x/y)(y/x)
=3+2√2
∴1/x+1/y的最小值为3+2√2

回答2：

解：∵x,y＞0,且2x+y=1.∴由“柯西不等式”可得：(1/x)+(1/y)=(2x+y)[(1/x)+(1/y)]≧(1+√2)²=3+2√2.等号仅当2x²=y².且2x+y=1时取得，即当x=(2-√2)/2,y=√2-1时取得。∴[(1/x)+(1/y)]min=3+2√2.

回答3：

1/x＋1/y=(1/x＋1/y)(2x＋y)=3＋(2x/y)＋(y/x)≥3＋2√2 。最小值是3＋2√2 。

回答4：

解：
(1/x+1/y)
=(1/x+1/y)(2x+y)
=2+y/x+2x/y+1
=3+y/x+2x/y
因为x，y都大于0，所以
≥3+2√（y/x）（2x/y)=3+2√2