15问答网 > 已知函数f（x）=x3+3x2-9x+1．（1）求f（x）的极大值；（2）若f（x）在[k，2]上的最大值为28，求k的取值

已知函数f（x）=x3+3x2-9x+1．（1）求f（x）的极大值；（2）若f（x）在[k，2]上的最大值为28，求k的取值

2025-05-14 03:57:23

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回答1：

（1）∵f（x）=x³+3x²-9x+1，
∴f（x）的定义域为R，f'（x）=3x²+6x-9，
令f'（x）=3x²+6x-9＞0，得x＞1或x＜-3，
列表讨论：

x	（-∞，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，+∞）
f’（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增↗	28	单调递减↘	-4	单调递增↗

∴当x=-3时，f（x）有极大值f（-3）=28．（5分）
（2）由（1）知f（x）在[1，2]为增函数，
在[-3，1]为减函数，（-∞，-3）为增函数，
且f（2）=3，f（-3）=28，（8分）
∵f（x）在[k，2]上的最大值为28，
∴所求k的取值范围为k≤-3，即k∈（-∞，-3]．（10分）