两道高二数学题，关于数列的应用

1.解：设使用n年后保费合算，那么总费用为：
s=139800+n+4000n+3000n（n-1）/2,那么年平均费用为：
y=s/n=139800/n+4000+1500(n-1)
=139800/n+1500n+2500>=2倍根号（139800*1500）+2500
=13981
当且仅当139800/n=1500n时取等号，解得n=9.65
所以使用10年后保费合算

2.用an,bn分别表示在第n周选A组菜，B组菜的学生数。
根据题意,an个学生中在下周仍然选A组菜的有:80%*an
bn个学生下周选A组菜的有:30%*bn
这样,下周选A组菜的同学共有:a(n+1)=0.8*an+0.3*bn
同理,an个学生中下周选B组菜的有0.2*an,bn个学生中下周选B组菜的有:0.7*bn
所以,b(n+1)=0.2*an+0.7*bn
注意到,a(n+1)+b(n+1)=1000
三个公式联立,消去b(n+1),bn得到:
a(n+1)=1/2 an+300

因为a(n+1)=1/2 an+300
所以,a(n+1)-600=1/2[an-600]
这样,令cn=an-600
显然有:c(n+1)=1/2*cn
很显然,cn是等比数列,并且公比为1/2
由于cn是等比数列,所以,cn=c1*(1/2)^(n-1)
c1=a1-600=-400
这样,cn=-400*(1/2)^(n-1)
所以,an=600-400*(1/2)^(n-1)
显然,当an=500时,选A组菜与选B组菜的人数相等
解出,当n=3时,an=500

1)设使用n年后保费合算，那么总费用为13.98+n+(0.5+0.3n)n/2
年平均费用=13.98/n+1+0.25+0.15n>=2√（13.98*0.15）
当且仅当13.98/n=0.15n时取等号，解得n=9.654
所以使用10年后保费合算

2） A(n+1)=An*80%+bn*30%=0.8An+0.3Bn
因为共有1000名学生，即An+Bn=1000,
所以 A(n+1)=0.5An+0.3An+0.3Bn=An/2+0.3*(An+Bn)=An/2+300
因为[A(n+1)-600]/(An-600)=1/2
所以数列{An-600}是公比为0.5的等比数列
当A1=200,An=500时
数列A1-600=-400，An-600=-100
则-400*（0.5）^(n-1)=-100
算出n=3
即第三周时，选A组菜的与选B组菜的人数相等

1.设 使用年限为X X年间的平均费用为 Y
X年的累积维修费用为 1.5X*X+2.5X （等差数列求和）
Y=[13.98+X+1.5X*X+2.5X]/X=13.98/X+1.5X+3.5
即求Y的最小值 当13.98/X=1.5X时 Y最小 所以 X=3.05 所以 3年后最合算

2.
1): A（n+1）=An*80%+Bn*30%=0.8An+0.3Bn
因为An+Bn=1000 所以 Bn=1000-An
即 A（n+1）=An*80%+Bn*30%=0.8An+0.3*（1000-An）=An/2+300.

2):A1=200 根据1 的结果得A2=400 A3=500 此时因为An+Bn=1000
所以B3=500 即An=Bn 所以 是第三周 相等

1设用了汽车用了N年总费用为S(万元)
则S=买车费用+养路费用+维修汽油费用
=13.98+1*N+[0.4+0.4+0.3(N-1)]*N/2
=0.15N^2+1.25N+13.98
年平均费用就是
S/N=0.15N+1.25+13.98/N 用均值不等式可知道
0.15N=13.98/N时候S/N取最小值 可解得N的值为 根号93.5它大于9小于10
但是N为正整数,再结合S/N的函数增减性.
知道在N=9或者N=10的时候S/N最小
将N=9与N=10分别带入 比较S/N的大小
可解得答案

2,由已知
第一小问 A(N+1)包括两部分,就是下周继续选A菜的和,下周不吃B菜改吃A菜的
所以可列得如下方程
A(N+1)=80%AN+30%BN
第二问,因为没人必然选1组菜,所以AN+BN=1000
BN=1000-AN,带入第一小问结果 得到A(N+1)=AN/2+300
第三问,要使得选A菜的人数和选B菜的人数相等则AN=BN=500
A(N+1)-600=(AN-600)*1/2
所以AN-600 是以A1-600为首项 1/2为公比的等比数列
通项为AN-600=(A1-600)*(1/2)^(N-1)
所以AN=600-400*(1/2)^(N-1)
代入AN=500 得到 (1/2)^(N-1)=1/4
显然N=3

第一题不太清楚题意，就说第二题吧，给点分吧，拜托了，555~~~~
1.A(n+1)=0.8An+0.3Bn;证明：因An+Bn=1000,带入上式，得A(n+1)=0.8An+0.3*(1000-An),即A(n+1）=An/2+300
2.简单做法：由A(n+1）=An/2+300，A1=200,得A2=400,A3=500,满足条件，所以第三周。

2.如果两组人相等，An=Bn=500.将A(n+1）=An/2+300，变形为A(n+1）-600=1/2*（An-600),即数列{An-600}是等比数列，公比为1/2.又因为A1=200,所以An=0.5的n-1次方*（200-600）+600，即An=-400*0.5的n-1次方+600，令An=500,得n=3即第二周

2.
证明：
A(n+1)=An*80%+Bn*30%
=An*80%+(1000-An)*30%
=An*50%+300
An/2+300

假设选A组的人和B组的人可以相等，则都是500。
递推关系为：
An=A(n-1)/2+300
=[A(n-2)/2+300]/2+300
=A(n-2)/4+300+300/2
=[A(n-3)/2+300]/4+300+300/2
=A(n-3)/8+300*(1+1/2+1/4)
...
=A1/2^(n-1)+300*(1+1/2+...+1/2^(n-2)（n>2)

其中A1=100，
An=500。

将n=3，4，代入运算发现，
A3=475，
A4=537.5
而
A(n+1)-An=300/2^(n-1)- A1/2^n
=500/2^n>0
即An越来越多，
而A3小于500，A4大于500。
所以An永远不会等于500！