如图在Rt三角形ABC中,BC=9,CA=12,角ABC的平分线BD，DE垂直DB。

如下图Rt△ABC中，bc=9，ca=12，角ABC的平分线BD交AC与点D，DE⊥DB交AB与点E
（1）设圆o是△BDE的外接圆，求证AC是圆O的切线
如图
连接OD，设∠CBD=∠1，∠ABD=∠2，∠ODB=∠3
因为△BDE为直角三角形，且∠BDE=90°
所以，Rt△BDE的外接圆圆心在BE上，且以BE为直径
即，O为BE中点
因为OB=OD=r
所以，∠2=∠3
又已知，BD为∠ABC的平分线，则：∠1=∠2
所以，∠1=∠3
所以，OD//BC
而，△ABC是以∠C为直角的三角形，即：BC⊥AC
所以，OD⊥AC
所以，AC是圆O的切线
（2）设园o交BC与点F，连接EF，求EF/AC的值
因为△ABC为直角三角形，且BC=9，AC=12
由勾股定理有，AB=15
由上面知，圆O是以BE为直径的圆，所以：∠BFE=90°
即，EF⊥BC
而，AC⊥BC
所以，EF//AC
所以，EF/AC=BE/BA=(2r)/(2r+x)…………………………（1）
设圆O的半径为r，则：BE=2r
设AE=x
由前面的证明知，OD//BC
所以，AO/AB=OD/BC
即：(x+r)/15=r/9
得到：2r=3x
代入到(1)就有：
EF/AC=(2r)/(2r+x)=(3x)/(3x+x)=3/4

连接OD
因为DE垂直DB
所以BE为圆O的直径
而OD，OB均为半径，OD=OB
也就是说，三角形OBD是等腰三角形
所以
角OBD=角ODB
而BD是角ABC的平分线，角OBD=角DBC
所以
角ODB=角DBC
所以
直线OD平行于BC
所以
角ODA是直角，也就是OD垂直AC
根据切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
有AC为切线
（得证）