X服从标准正态分布，则X的五次方的期望是多少？

X的五次方的期望是0

解析：

∵X~N(0,1)，∴其密度函数f(x)=Ae^(-x²/2)，其中A=1/√(2π)。

∴根据定义，E(X^n)=∫(-∞,∞)(x^n)f(x)dx=A∫(-∞,∞)(x^n)e^(-x²/2)dx。

∴当n为偶数，即n=2k(k为自然数)时，E(X^n)=2A∫(0,∞)(x^n)e^(-x²/2)dx。当n为奇数，即n=2k+1时，E(X^n)=0。

设x²=2t。∫(0,∞)(x^n)e^(-x²/2)dx=[2^(n/2-1/2)]∫(0,∞)[t^(n/2-1/2)]e^(-t)dt。

∴按照伽玛函数Γ(α)的定义，E(X^n)=(1/√π)[2^(n/2)]Γ(n/2+1/2)=(n-1)(n-3)*…*1。

即当n为偶数，E(X^n)=(n-1)(n-3)*…*1；n为奇数，E(X^n)=0。

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

扩展资料

图形特征

集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。

对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。

均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。

曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。即频率的总和为100%。