解答：解：（1）取BA1的中点G，连接EG，DG，
∴GE平行且等于
AA1，1 2
∵D是CC1中点，
∴CD平行且等于
AA1，1 2
∴GE平行且等于CD，
∴四边形GDCE是平行四边形，
∴CE∥GD，
∵CE?平面A1BD，GD?平面A1BD，
∴CE∥平面A1BD，
（2）∵AA1⊥面ABC，CE?面ABC，
∴AA1⊥CE，
又△ABC等边三角形，E是中点，
∴CE⊥AB，CE＝
AB＝
3
2
，
3
所以CE⊥面AA1B，
连接EH，则∠EHC为CH与平面AA1B所成的角，
在Rt△CEH中，tan∠EHC＝
＝CE EH
，
3
EH
所以EH最短时∠EHC最大，
此时，EH⊥A1B，∴tan∠EHC＝
＝CE EH
＝
3
EH
，
15
2
∴EH＝
2
5
5
由平几相似关系得AA1=4；
（3）△IBD中，IB=DB=2
，ID=4，∴S△IBD=
2
×2×2=2，1 2
△ABD中，AB=4，DB=2
，AD=2
2
，∴cos∠ABD=
5
=16+8?20 2×4×2
2
，
2
8
∴sin∠ABD＝
，
62
8
∴S△ABD=
×4×21 2
×
2
=
62
8
，
31
∴二面角I-BD-A的余弦值为
=2
31
．2
31
31
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