15问答网 > （Ⅰ）已知函数f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设a 1 ，b 1 （k=1，2…，n

（Ⅰ）已知函数f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设a 1 ，b 1 （k=1，2…，n

2025-05-12 18:16:03

推荐回答（1个）

回答1：

（I）f（x）的定义域为（0，+∞），
令f′（x）=

-1=0，解得x=1，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上是增函数；
当x＞1时，f′（x）＜0，所以f（x）在（1，+∞）上是减函数；
故函数f（x）在x=1处取得最大值f（1）=0；

（II）（1）由（I）知，当x∈（0，+∞）时，有f（x）≤f（1）=0，即lnx≤x-1，
∵a_k ，b_k （k=1，2…，n）均为正数，从而有lna_k ≤a_k -1，
得b_k lna_k ≤a_k b_k -b_k （k=1，2…，n），
求和得

b 1 a 1

b 2 a 2

b 3 a 3

+…+

b n a n

≤a₁ b₁ +a₂ b₂ +…+a_n b_n -（b₁ +b₂ +…+b_n ）
∵a₁ b₁ +a₂ b₂ +…a_n b_n ≤b₁ +b₂ +…b_n ，
∴

b 1 a 1

b 2 a 2

b 3 a 3

+…+

b n a n

≤0，即ln ( a 1 b 1 a 2 b 2 … a n b n ) ≤0，
∴ a 1 b 1 a 2 b 2 … a n b n ≤1；

（2）先证

≤ b 1 b 1 b 2 b 2 … b n b n ，
令a_k =

n b k

（k=1，2…，n），则a₁ b₁ +a₂ b₂ +…+a_n b_n =1=b₁ +b₂ +…b_n ，
于是由（1）得 (

n b 1

) b 1 (

n b 2

) b 2 … (

n b n

) b n ≤1，即

b 1 b 1 b 2 b 2 … b n b n

≤n^{b₁ +b₂ +…b_n} =n，
∴

≤ b 1 b 1 b 2 b 2 … b n b n ，
②再证 b 1 b 1 b 2 b 2 … b n b n ≤b₁ ² +b₂ ² +…+b_n ² ，
记s=b₁ ² +b₂ ² +…+b_n ² ．令a_k =

b k

（k=1，2…，n），
则a₁ b₁ +a₂ b₂ +…+a_n b_n =

（b₁ ² +b₂ ² +…+b_n ² ）=1=b₁ +b₂ +…b_n ，
于是由（1）得 (

s b 1

) b 1 (

s b 2

) b 2 … (

s b n

) b n ≤1，
即 b 1 b 1 b 2 b 2 … b n b n ≤s^{b₁ +b₂ +…b_n} =s，
∴ b 1 b 1 b 2 b 2 … b n b n ≤b₁ ² +b₂ ² +…+b_n ² ，
综合①②，（2）得证．