cov(x拔,y拔)是不是等于1⼀n倍cov(x,y)?

X拔 = (1/n)∑Xi

Y拔 = (1/n)∑Yj

EXi = u,

EYj = v,

E(Xi - u)(Yj - v) = cov(Xi,Yj) = cov(X,Y) = E(X - EX)(Y - EY)

E[X拔] = E[(1/n)∑Xi] = (1/n)∑EXi = (1/n)∑u = u,

E[Y拔] = E[(1/n)∑Yj] = (1/n)∑EYj = (1/n)∑v = v.

cov(X拔,Y拔) = E[(X拔 - EX拔)(Y拔 - EY拔)]

= E[(X拔 - u)(Y拔 - v)]

= E[((1/n)∑Xi - u)((1/n)∑Yj - v)]

= (1/n^2)E[(∑Xi - nu)(∑Yj - nv)]

= (1/n^2)E[∑(Xi - u)∑(Yj - v)]

= (1/n^2)E[∑∑(Xi - u)(Yj - v)]

= (1/n^2)∑∑E[(Xi - u)(Yj - v)]

= (1/n^2)∑∑cov(Xi,Yj)

= (1/n^2)∑∑cov(X,Y)

= cov(X,Y)

---------------------------
E∑(Xi-X拔)(Yi-Y拔)

= E∑(Xi - u + u - X拔)(Yi - v + v - Y拔)

= E∑(Xi - u)(Yi - v) + E∑(Xi - u)(v - Y拔) + E∑(u - X拔)(Yi - v) + E∑(u - X拔)(v - Y拔)

= ∑E(Xi - u)(Yi - v) + ∑E(Xi - u)(v - Y拔) + ∑E(u - X拔)(Yi - v) + ∑E(u - X拔)(v - Y拔)

= ∑E(Xi - u)(Yi - v) - ∑E(Xi - u)(Y拔 - v) - ∑E(X拔 - u)(Yi - v) + ∑E(X拔 - u)(Y拔 - v)

= ∑cov(Xi,Yi) - ∑cov(Xi,Y拔) - ∑cov(X拔,Yi) + ∑cov(X拔,Y拔)

cov(Xi,Y拔) = E(Xi - u)(Y拔 - v)

= E(Xi - u)((1/n)∑Yj - v)

= (1/n)E(Xi - u)(∑Yj - nv)

= (1/n)E(Xi - u)∑(Yj - v)

= (1/n)∑E(Xi - u)(Yj - v) 【只对j求和】

= (1/n)∑cov(Xi,Yj) 【只对j求和】

= (1/n)∑cov(X,Y)

= cov(X,Y)

同理，
cov(X拔,Yi) = cov(X,Y)

由上一节的推导，有
cov(X拔,Y拔) = cov(X,Y)

所以，
E∑(Xi-X拔)(Yi-Y拔)

= ∑cov(Xi,Yi) - ∑cov(Xi,Y拔) - ∑cov(X拔,Yi) + ∑cov(X拔,Y拔)

= ∑cov(X,Y) - ∑cov(X,Y) - ∑cov(X,Y) + ∑cov(X,Y)

= 0.

所以，
∑(Xi-X拔)(Yi-Y拔)不是(n-1)cov(X,Y)的无偏估计，除非【cov(X,Y)= 0】

那
∑∑(Xi-X拔)(Yj-Y拔)是不是cov(X,Y)的无偏估计呢？

-------------------------
E∑∑(Xi-X拔)(Yj-Y拔)

= E∑∑(Xi - u + u - X拔)(Yj - v + v - Y拔)

= E∑∑(Xi - u)(Yj - v) + E∑∑(Xi - u)(v - Y拔) + E∑∑(u - X拔)(Yj - v) + E∑∑(u - X拔)(v - Y拔)

= ∑∑E(Xi - u)(Yj - v) + ∑∑E(Xi - u)(v - Y拔) + ∑∑E(u - X拔)(Yj - v) + ∑∑E(u - X拔)(v - Y拔)

= ∑∑E(Xi - u)(Yj - v) - n∑E(Xi - u)(Y拔 - v) - n∑E(X拔 - u)(Yj - v) + ∑∑E(X拔 - u)(Y拔 - v)

= ∑∑cov(Xi,Yj) - n∑cov(Xi,Y拔) - n∑cov(X拔,Yj) + ∑∑cov(X拔,Y拔)

= ∑∑cov(X,Y) - n∑cov(X,Y) - n∑cov(X,Y) + ∑∑cov(X,Y)

= n^2cov(X,Y) - n^2cov(X,Y) - n^2cov(X,Y) + n^2cov(X,Y)

= 0.

哈。
∑∑(Xi-X拔)(Yj-Y拔)也不是cov(X,Y)的无偏估计。【除非cov(X,Y)=0】

公式,俺忘了.
不过,教材嘛,工科本科生及经管类学生所用的教材一般都是<概率论与数理统计>作者:盛骤,谢式千,潘承毅.最新的是第三版.
这些公式,在教材里面都是很基本简单的。只要掌握了协方差的定义，这个直接就能算出来了。