（I）设圆C方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．
在曲线y=x2-6x+1中令x=0，得y=1，则点（0，1）在圆C上，可得1+E+F=0（*）
再令y=0，可得方程x2 -6x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程，得D=-6，F=1，
代入（*）解出E=-2，
∴圆C方程为x2+y2-6x-2y+1=0，即（x-3）2+（y-1）2=9
（Ⅱ）设斜率为1的直线方程为x-y+a=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组
由
消去y，得方程2x2+（2a-8）x+a2-2a+1=0，
x?y+a＝0 (x?3)2+(x?1)2＝9
∴△=56-16a-4a2＞0．
利用根与系数的关系，得到x1+x2=4-a，x1x2=
（a2-2a+1）①，1 2
若OA⊥OB，则可得x1x2+y1y2=0，
结合y1=x1+a，y2=x2+a，代入可得2x1x2+a（x1+x2）+a2=0②
由①②联解可得a=-1，此时△=56-16a-4a268＞0．
∴a=-1，得存在斜率为1的直线x-y-1=0，使其与圆C交于A、B两点满足OA⊥OB．
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