15问答网 > 设函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）为二次函数，且f（0）=1，f（x+1）=f（x）+2x．（1）

设函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）为二次函数，且f（0）=1，f（x+1）=f（x）+2x．（1）

2025-05-18 03:34:27

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回答1：

（1）当x≥0时，f（x）为二次函数，
设当x≥0时，f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=1，f（x+1）=f（x）+2x，
∴c=1，a（x+1）²+b（x+1）+1=ax²+bx+1，
ax²+（2a+b）x+a+b+1=ax²+（b+2）x+1恒成立，
∴a+b=0.2a+b=b+2
即a=1，b=-1，
所以当x≥0时，f（x）=x²-x+1，
当x≤0时，则-x≥0，f（x）=f（-x）=x²+x+1．
即f（x）=

x2?x+1，x≥0

x2+x+1，x＜0

，．
（2）当3≤x≤4时t≤f（x）≤2t+7恒成立，即t≤x²-x+1≤2t+7恒成立，

t≤x2?x+1

t≥

构造函数，在[3，4]上都为增函数，解其在[3，4]上的最值，
可得：t∈[3，7]