高二数学，数列，初学者

a1 = 2
a2 = a1 + 1 + 1
a3 = a2 + 2 + 1
a4 = a3 + 3 + 1
……
a = a + (n-2) + 1
a = a + (n-1) + 1

以上各等式相加
消去 等号 两端的相同项， 即 a1 , a2 , a3 …… a。 留下的式子是：
an = 2 + [1 + 2 + 3 + …… + (n-1)] + (n-1)个1
= 2 + [1 + 2 + 3 + …… + (n-1)] + n-1
= n + 1 + [1 + 2 + 3 + …… + (n-1)]
利用等差数列公式求中括弧内的和
an = n + 1 + [1 + (n-1)]*(n-1)/2
= n + 1 + n(n-1)/2
= 1 + (n^2 + n )/2
= 1 + n(n+1)/2

解：
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+……+(a2-a1)+a1

由题知an＋1-an=n＋1
那么an=n+(n-1)+(n-2)+……+2+a1
=n+(n-1)+(n-2)+……+2+2
=n+(n-1)+(n-2)+……+2+1+1
=n（1+n）/2+1

我用a（n）来表示an吧.
a（n）-a（n-1）=n
a（n-1）-a（n-2）=n-1
a（n-2）-a（n-3）=n-2
......
a（2）-a（1）=2
以上n-1个式子相加就有
a（n）-a（1）=2+3+...+n
这是叠加法，如果系数在a（n）上，就用叠乘法.
以下就自己做了吧！祝你学习进步！

a2=a1 + 2
a3=a2 + 3
...
...
an=an-1 + n
左右两边加起来
（a2+a3+...+an)=(a1+a2+....an-1)+2+3+4+...+n
消去括号中相同项得到
an=a1 + (n+2)(n-1)/2
对于a1要代入验证