15问答网 > 如图所示四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC ∥ AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为PD的中

如图所示四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC ∥ AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为PD的中

2025-05-15 19:24:31

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回答1：

（Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABCD，CD?面ABCD，所以PA⊥CD，
又因为直角梯形ABCD中， AC=2

，CD=2

，
所以AC² +CD² =AD² ，即AC⊥CD，
又PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC；…（4分）
（Ⅱ）解法一：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接BG，FG，EO，则在△PCE中，FG ∥ CE，
又EC?平面ACE，FG?平面ACE，所以FG ∥ 平面ACE，
因为BC ∥ AD，所以

，则OE ∥ BG，
又OE?平面ACE，BG?平面ACE，所以BG ∥ 平面ACE，
又BG∩FG=G，所以平面BFG ∥ 平面ACE，
因为BF?平面BFG，所以BF ∥ 平面ACE．…（10分）
解法二：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，
连接FD交CE于H，连接OH，则FG ∥ CE，
在△DFG中，HE ∥ FG，则

，
在底面ABCD中，BC ∥ AD，所以

，
所以

，故BF ∥ OH，又OH?平面ACE，BF?平面ACE，
所以BF ∥ 平面ACE．…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，CD⊥平面PAC，所以∠DPC为直线PD与平面PAC所成的角，
在Rt△PCD中， CD=2

，PD=

P A 2 +A D 2

，
所以 sin∠DPC=

，
所以直线PD与平面PAC所成的角的正弦值为

．…（14分）