求学霸，高一数学，第一题

f(x)=-1/2x²+13/2 x∈[a,b] 最小值=2a，最大值=2b
f(x)为抛物线，开口向下，对称轴x=0
当a>0时，区间在对称轴右侧，f(x)单调递减
最大值=f(a)=-1/2a²+13/2=2b
最小值=f(b)=-1/2b²+13/2=2a
1/2(a+b)(a-b)=2(a-b)
a+b=4
-1/2a²+13/2=2(4-a)→a²-4a+3=0→a=1,a=3
∴b=3,b=1
∵b>a
∴a=1,b=3
当b<0时，区间在对称轴左侧，f(x)单调递增
最大值=f(b)=-1/2b²+13/2=2b→ b²+4b-13=0 b=-2±√17
最小值=f(a)=-1/2a²+13/2=2a→ a²+4a-13=0 a=-2±√17
a=b=-2-√17
当a≤0,b≥0时，区间在包含对称轴，顶点为最大值=2b=13/2
b=13/4
最小值=min[f(a),f(b)]
f(b)-f(a)=1/2(a+b)(a-b)
当-a0,最小值=f(a)=-1/2a²+13/2=2a a=-2-√17
当-a>b时f(b)-f(a)<0,最小值=f(b)=-1/2(13/4)²+13/2=2a a>0,无解。
综上[-2-√17,-2-√17],[-2-√17,13/4],[1,3]

对称轴是y轴，所以[a,b]区间不包括0，
所以有f（a）=2b,f(b)=2a
或f(a)=2a,f(b)=2b,验证一下就行