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向量组[a1,a2,a3,...an]线性相关，非零向量b与ai（i等于1,2,3，...n-1)正交，a1,a2,...ar线性无关，证明

2025-05-13 16:17:57

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回答1：

因为向量组A=[a1,a2,a3,...an]线性相关，且r(A)=r，所以r令 k1a1+k2a2+...+krar+kb=0,
上式两端与b作内积，得 k1(a1,b)+k2(a2,b)+...+kr(ar,b)+k(b,b)=0,
因为b与ai（i=1,2,3,...,n-1)正交，且r<=n-1，所以(ai,b)=0，i=1,2,...,r.
从而有k1(a1,b)+k2(a2,b)+...+kr(ar,b)+k(b,b)=k(b,b)=0,
又 b是非零向量，故(b,b)>0，于是由k(b,b)=0得，k=0.
即 k1(a1,b)+k2(a2,b)+...+kr(ar,b)=0，
因为a1,a2,...ar线性无关，所以k1=k2=...=kr=0
综上可知，a1,a2,...ar,b线性无关