1、使用球坐标系,z=rcosφ,dV=r²sinφdrdθdφ;Ω:0≤r≤1,0≤θ≤2π,0≤φ≤π;
∫∫∫z²dV=∫dθ∫(r²)²dr∫cos²φsinφdφ=-∫dθ∫(r²)²dr∫cos²φd(cosφ)=-2π*[(r^5)/5]*[cos³φ)/3]
=2π*(1/5)*[(-1-1)/3]=4π/15;
2、使用柱坐标系,x=rcosθ,y=rsinθ,dV=rdrdθdz;Ω:0≤z≤1,0≤r≤2,0≤θ≤2π;
∫∫∫(x+y+z)dV=∫∫∫(rcosθ+rsinθ+z)rdrdθdz=∫∫∫zrdrdθdz=∫zdz∫rdr∫dθ=(zr/2)²*2π=2π;