二次型f(x,y,z)=X^2+3Y^2+Z^2+2XY+2YZ 求f的正惯性指数

只求惯性指数用配方法稍快

f = (x+y)^2 +2y^2+z^2+2yz

= (x+y)^2 +2 (y + 1/2 z )^2 + 1/2 z^2

所以f的正惯性指数为3。

(A-5E)X=0 的基础解系为 a3=(0,1,1)'.

a1,a2,a3 单位化得

b1=(0,1/√2,-1/√2)'

b2=(1,0,0)'

b3=(0,1/√2,1/√2)'

令 Q = (b1,b2,b3), 则 Q 是正交矩阵, 且

Q^-1AQ = diag(1,2,5).

故 X=QY 是正交变换, 满足

f = y1^2+2y2^2+5y3^2.

扩展资料：

用矩阵的语言来表述即：与一个给定的实对称矩阵A合同的对角矩阵的对角线元素中，正的个数和负的个数是由A确定的，把这两个数分别称为A的正惯性指数和负惯性指数。合同于A的规范对角矩阵是唯一的，其中的自然数p，q就是A的正，负惯性指数。

由惯性定理可知，二次型的正、负惯性指数是由二次型本身唯一确定的。事实上，正(负)惯性指数即为二次型矩阵A的正(负)特征值的个数。

从化标准形为规范形的过程看到，标准形中正(或负)平方项的个数就是正(或负)惯性指数。。因此，虽然一个二次型有不同形式的标准形，但每个标准形中所含正(或负)平方项的个数是一样的。

参考资料来源：百度百科-正惯性指数

只求惯性指数用配方法稍快

f = (x+y)^2 +2y^2+z^2+2yz
= (x+y)^2 +2 (y + 1/2 z )^2 + 1/2 z^2

所以f的正惯性指数为3.