数学 全部 因式分解 公式

　1．运用公式法

　　在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

　　(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；

　　(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；

　　(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

　　(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

　　下面再补充几个常用的公式：

　　(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

　　(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

　　(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数；

　　(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；

　　(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n为奇数．

　　运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

　　例1 分解因式：

　　(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；

　　(2)x3-8y3-z3-6xyz；

　　(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；

　　(4)a7-a5b2+a2b5-b7．

　　解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)

　　　　　　　=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]

　　　　　　　=-2xn-1yn(x2n-y2)2

　　　　　　　=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．

　　(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)

　　　　　 =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．

　　(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2

　　　　　＝(a-b)2+2c(a-b)+c2

　　　　　=(a-b+c)2．

　　本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：

　　原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)

　　　　=(a-b+c)2

　　(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)

　　　　　 =a5(a2-b2)+b5(a2-b2)

　　　　　 =(a2-b2)(a5+b5)

　　　　　 =(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)

　　　　　 =(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)

　　例2