15问答网 > 设向量组（1）：a1,a2,a3; (2):a1,a2,a3,a4; (3):a1,a2,a3,a5. 已知秩(1)=秩(2)=3,秩(3)=4,

设向量组（1）：a1,a2,a3; (2):a1,a2,a3,a4; (3):a1,a2,a3,a5. 已知秩(1)=秩(2)=3,秩(3)=4,

求证a1,a2,a3,2a4+a5线性无关

2025-05-22 13:13:36

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回答1：

R(1)=3,因此a1,a2,a3线性无关；R(2)=3,说明a1,a2,a3,a4线性相关，所以a4可以用a1,a2,a3线性表示（定理）。
若a1,a2,a3,2a4+a5线性相关，由a1,a2,a3线性无关知，2a4+a5可由a1,a2,a3线性表示，而已知a4可以用a1,a2,a3线性表示，所以a5也可由a1,a2,a3线性表示。而题目中给出的R（3）=4说明a1,a2,a3,a5线性无关，因此产生矛盾，原命题得证。
我这里是给你的定性说法，线性表示你可以直接设a4=Aa1+Ba2+Ca3等等反正意思一样。