极限？怎么(√1+x^2)-1怎么变成1⼀2x^2的呢？本人理解不过来求解

因为x➔0lim(x/sinx)=1，故x∽sinx；

又因为x➔0lim{x²/[x(e^x-1)]}=x➔0lim[2x/(e^x-1+xe^x)]=x➔0lim[2/(e^x+e^x+xe^x)]；

=x➔0lim{2/[(2+x)e^x]=1，故x²∽x(e^x-1)；

即分子和分母都用各自的等价无穷小作了替换。

又x➔0lim[√(1+x²)-1]/(x²/2)=x➔0lim{2[√(1+x²)-1]/x²}=x➔0lim{2[x/√(1+x²)]/2x}=x➔0lim[1/√(1+x²)]=1

故x²/2∽√(1+x²)-1，于是第二步又作了替换。

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）。

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。

4、利用无穷小的性质求极限。

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。

解：因为x➔0lim(x/sinx)=1，故x∽sinx；
又因为x➔0lim{x²/[x(e^x-1)]}=x➔0lim[2x/(e^x-1+xe^x)]=x➔0lim[2/(e^x+e^x+xe^x)]；
=x➔0lim{2/[(2+x)e^x]=1，故x²∽x(e^x-1)；
即分子和分母都用各自的等价无穷小作了替换。
又x➔0lim[√(1+x²)-1]/(x²/2)=x➔0lim{2[√(1+x²)-1]/x²}=x➔0lim{2[x/√(1+x²)]/2x}=x➔0lim[1/√(1+x²)]=1
故x²/2∽√(1+x²)-1，于是第二步又作了替换。
这都是简化运算的小技巧。

这是用到等价无穷小代换
(1+x)^a -1与ax为等价无穷小（当x为无穷小时），求极限时，等价无穷小在乘除运算中可以代换。

×它的共轭根式就行了shijiuxingle