已知圆O：x 2 +y 2 =4内一点P（0，1），过点P的直线l交圆O于A，B两点，且满足 AP =λ

2025-05-14 06:36:54

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回答1：

（I）当直线l的斜率不存在时，|AB|=4，不满足条件．故可设所求直线l的方程为y=kx+1代入圆的方程，
整理得（1+k² ）x² +2kx-3=0，
利用弦长公式可求得直线方程为y=x+1或y=-x+1．
（II）当直线l的斜率不存在时，

或

，不满足条件，故可设所求直线l的方程为y=kx+1
代入圆的方程，整理得（1+k² ）x² +2kx-3=0，（*）
设A（x₁ ，y₁ ），B（x₂ ，y₂ ），则x₁ ，x₂ 为方程（*）的两根，
由

可得x₁ =-2x₂ ，则有

x 1 + x 2 =- x 2 =

-2k

1+ k 2

，(1)

x 1 x 2 =-2

1+ k 2

，(2)

．
（1）² ÷（2）得

4 k 2

3(1+ k 2 )

，解得 k=±

，
所以直线l的方程为 y=±

x+1 ．
（III）当直线l的斜率不存在时，

或

，λ=3或或 λ=

，
当直线l的斜率存在时可设所求直线l的方程为y=kx+1，代入圆的方程，整理得（1+k² ）x² +2kx-3=0，（*）
设A（x₁ ，y₁ ），B（x₂ ，y₂ ），则x₁ ，x₂ 为方程（*）的两根，
由

=λ

可得x₁ =-λx₂ ，
则有

x 1 + x 2 =(1-λ) x 2 =

-2k

1+ k 2

，(3)

x 1 x 2 =-λ

1+ k 2

，(4)

，（3）² ÷（4）得

(1-λ) 2

4 k 2

3(1+ k 2 )

，
而

4 k 2

3(1+ k 2 )

∈[0，

) ，由 0≤

(1-λ) 2

＜

，可解得

＜λ＜3 ，
所以实数λ的取值范围为

≤λ≤3 ．