已知函数 f(x)= mx x 2 +n (m，n∈R) 在x=1处取到极值2．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设

2025-05-19 06:53:02

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回答1：

（Ⅰ） f′(x)=

m( x 2 +n)-2mx

(x+n) 2

m x 2 -2mx+mn

( x 2 +n) 2

（2分）
根据题意，f（x）=

x 2 +n

，
f′（x）=-

mx 2 -mn

(x 2 + n) 2

；
由f（x）在x=1处取到极值2，故f′（1）=0，f（1）=2即

mn-m

(1+n) 2

1+n

，
解得m=4，n=1，经检验，此时f（x）在x=1处取得极值．故 f(x)=

x 2 +1

（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的定义域为R，且f（-x）=-f（x）．故f（x）为奇函数．f（0）=0，x＞0时，f（x）＞0，f（x）=

≤2．当且仅当x=1时取“=”．
故f（x）的值域为[-2，2]．从而 f( x 1 )+

≥

．依题意有 g(x ) 最小值 ≤

（7分）
函数 g(x)=lnx+

的定义域为（0，+∞）， g ′ (x)=

x 2

x-a

x 2

（8分）
①当a≤1时，g′（x）＞0函数g（x）在[1，e]上单调递增，其最小值为 g(1)=a≤1＜

合题意；
②当1＜a＜e时，函数g（x）在[1，a）上有g′（x）＜0，单调递减，在（a，e]上有g′（x）＞0，单调递增，所以函数g（x）最小值为f（a）=lna+1，由 lna+1≤

，得 0＜a≤

．从而知 1＜a≤

符合题意．
③当a≥e时，显然函数g（x）在[1，e]上单调递减，其最小值为 g(e)=1+

≥2＞

，不合题意（11分）综上所述，a的取值范围为 a≤

（12分）