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设直线lx-y+m=0与抛物线Cy^2=4x交于不同两点F为抛物线焦点求ABF的重心G的轨迹方程

2025-05-22 11:03:17

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回答1：

设：A(x1，y1)、B(x2，y2)、F(1，0)
三角形ABF的重心是G(x，y)
则：
直线代入抛物线中，得：
(x＋m)²=4x
x²＋2(m－2)x＋m²=0 ---------------(1)
则：x1＋x2=2(2－m)
从而有：y1＋y2=(x1＋x2)＋2m=4
x=(x1＋x2＋1)/3=(5－2m)/3
y=(y1＋y2＋0)/3=4/3
则重心的轨迹是：y=4/3
考虑到(1)的判别式=4(m－2)²－4m²=4(－4m＋4)>0，则：m<1，得：x>1
则轨迹方程是：y=4/3 (x>1)

回答2：

y^2=4x,焦点F坐标是（1，0）
L方程代入得到y^2=4(y-m)
y^2-4y+4m=0
判别式=16-16m>0,得到m<1且m不=-1，（因ABF三点不共线）
y1+y2=4
x1+x2=y1-m+y2-m=4-2m
设重心G坐标是（x,y)
那么有x=(x1+x2+1)/3=(4-2m+1)/3=（5-2m)/3>1,y=(y1+y2+0)/3=4/3

即G的轨迹方程是y=4/3,(x>1且x不=7/3）