设椭圆x^2⼀a^2+y^2⼀b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P(a,b)满足PF2=F1F2. (1)求椭圆离心率e

(1)设F1（-c，0），F2（c，0） （c＞0）．
由题得|PF2|=|F1F2|，即根号(a-c)²+b²=2c
∴2(c/a)²+c/a-1=0
c/a=1/2或-1（舍）
∴e=1/2
(2)由(1)知a=2c，b=根号3c，椭圆方程为3x²+4y²=12c²，直线方程PF2为y=根号3(x-c)
A，B的坐标满足方程组:3x²+4y²=12c²
y=根号3(x-c)
∴5x²-8xc=0，解得x=0，x=8c/5
代人得方程组的解为：x=0， y=-根号3
x=8c/5，y=(3根号3/5)c
设A(8c/5,(3根号3/5)c ) ，B(0,(-根号3)c)
所以|AB|=根号[(8c/5)²+{[(3根号3/5)c+根号3c ]²}
于是|MN|=8/5|AB|=2c
圆心（-1，根号3）到直线PF2的距离d=|-根号3-根号3-根号3c|/2
∵d²+(|MN|/2)²=4²
∴3/4(2+c)²+c²=16
解得c=2或-26/7(舍)
∴ 椭圆方程为x²/16+y²/12=1