已知点A(-1,1)和圆C:x2+y2-6x-8y+24=0,一束光线从点A出发,经过直线L:x-y-1=0反射后与圆相切,试求

2025-05-23 04:47:50
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点A(-1,1)关于x-y-1=0对称的点为A'(a,b),

b?1
a+1
=?1
a?1
2
?
b+1
2
?1=0
,解得:
a=2
b=?2
,∴A′(2,2).
设反射线与圆相切的切点为B,根据题意得反射线所在直线是A'B所在直线
设直线A'B方程为y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0
圆C:x2+y2-6x-8y+24=0,的圆心(3,4),半径为r=1,
可得圆心(3,4)到直线的距离d=
|3k?4?2k+2|
k2+1
=1

解之得k=
3
4

由此可得直线A'B方程为
3
4
x-y-2×
3
4
+2=0即:3x-4y+2=0,
当直线的斜率不存在时,直线为:x=2,满足题意,
即为所求反射线所在直线方程3x-4y+2=0或x=2.