解答：
解：（Ⅰ）∵T（1，）为椭圆上一点，且TF2垂直于x轴，
∴c=1，
在Rt△TF1F2，|TF2|=，|F1F2|=2，∴|TF1|=，
∴2a=|TF1|+|TF2|=4，
∴a=2，
∴b==
∴椭圆E的方程为+＝1；
（Ⅱ）逆命题：“已知P是椭圆E上异于A1，A2的一点，直线 A1P，A2P分别交直线l：x=t（t为常数）于不同两点M，N，点Q在直线l上．若Q为线段MN的中点，则直线PQ与椭圆E有且只有一个公共点P”，为真命题．
证明如下：设P（x0，y0）（x0≠±2），则+＝1，
lA1P：y=（x+2）；lA2P：y=（x-2），
∴M（t，），N（t，），
设MN的中点为Q（x1，y1），则x1=t，y1=，
∵x02?4＝，
∴y1==，
∴Q（t，），
∴kPQ==，
∴PQ的方程为y=（x-x0）+y0，即y=x+
代入椭圆方程，消去y可得x2-x+?1=0，
∴△=（）2-4??（?1）==0，
∴直线PQ与椭圆E有且只有一个公共点P；
（Ⅲ）如图，①任作一条不过点S的直线n垂直于双曲线的实轴；②作直线A1S，A2S分别交直线n于I，J两点；③作线段IJ的中点V，连接SV，则直线SV即为所求的直线m．
