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定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足对任意的实数x，y都有f（x y ）=yf（x）（Ⅰ）求f（1）的值；（
定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足对任意的实数x，y都有f（x y ）=yf（x）（Ⅰ）求f（1）的值；（
2025-06-22 21:27:54
推荐回答（1个）
回答1：
（Ⅰ）令x=1，y=2，可知f（1）=2f（1），故f（1）=0…（4分）
证明：（Ⅱ）设0＜x
1
＜x
2
，∴存在s，t使得x
1
=（
1
2
）
s
，x
2
=（
1
2
）
t
，且s＞t．又f（
1
2
）＜0
∴f（x
1
）-f（x
2
）=f[（
1
2
）
s
]-f[（
1
2
）
t
]=sf（
1
2
）-tf（
1
2
）=（s-t）f（
1
2
）＜0
∴f（x
1
）＜f（x
2
）．
故f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得f（|3x-2|-2x）＜0 即：f（|3x-2|-2x）＜f（1）
由（Ⅱ）可知0＜|3x-2|-2x＜1
解得：
1
5
＜x＜
2
5
或2＜x＜3…（14分）
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