解答：
解：（1）作EM⊥GA，垂足为M．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°．
∵GA∥BC，
∴∠MAE=60°．
∵AD=AE=4，
∴ME=AE?sin60°=2，BD=AB-AD=8，
又GA∥BH，
∴△AGD∽△BFD，
∴==，
又∵BF=2t，
∴AG=t．
∴S=t．
（2）猜想：不变．
∵AG∥BC，
∴△AGD∽△BFD，△AGE∽△CHE，
∴=，=，
∴=，
∴=，
∴BF=CH．
情况①：0＜t＜6时，
∵BF=CH，
∴BF+CF=CH+CF，
即：FH=BC；
情况②：t=6时，有FH=BC；
情况③：t＞6时，
∵BF=CH，
∴BF-CF=CH-CF，
即：FH=BC．
∴S△GFH=S△ABC=36．
综上所述，当点F在运动过程中，△GFH的面积为36cm2．
（3）∵BC=FH，∴BF=CH．
①当点F在线段BC边上时，若点F和点C是线段BH的三等分点，则BF=FC=CH．
∵BC=12，∴BF=FC=6，
又∵点F的运动速度为2cm/s，
∴t=3．
∴当t=3时，点F和点C是线段BH的三等分点；
②当点F在BC的延长线上时，若点F和点C是BH的三等分点，则BC=CF=FH．
∵BC=12，∴CF=12，∴BF=24，
又∵点F的运动速度为2cm/s，
∴t=12．
∴当t=12时，点F和点C是线段BH的三等分点；
综上可知：当t=3s或12s时，点F和点C是线段BH的三等分点．
