15问答网 > 若对一切x属于R，复数z=(a+cosθ)+(2a-sinθ)i的模不超过2，则实数a的取值范围为

若对一切x属于R，复数z=(a+cosθ)+(2a-sinθ)i的模不超过2，则实数a的取值范围为

数形结合来解答

2025-06-22 23:48:30

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回答1：

z=(a+cosθ)+(2a-sinθ)i
模=√[(a+cosθ)²+(2a-sinθ)²]
=√[ 5a²+1+2a(cosθ-2sinθ) ]
=√[ 5a²+1+2a*√5cos(θ+Ψ) ]，（cosΨ=1/√5）
因为复数z=(a+cosθ)+(2a-sinθ)i的模不超过2
所以√[ 5a²+1+2a*√5cos(θ+Ψ) ]≤2
即5a²+1+2a*√5cos(θ+Ψ)≤4
当a>0时，cos(θ+Ψ)≤(3-5a²)/2√5a
得：0当a=0时，5a²+1+2a*√5cos(θ+Ψ)≤4恒成立
当a<0时,cos(θ+Ψ)≥(3-5a²)/2√5a
得：-1/√5≤a<0
综上所述：-√5/5≤a≤√5/5