15问答网 > 已知圆C的方程为x^2+y^2+x-6y+3=0,若直线x+2y+m=0与圆C相交于A,B两点，试问存在实数m使得∠AOB=90°，求m值

已知圆C的方程为x^2+y^2+x-6y+3=0,若直线x+2y+m=0与圆C相交于A,B两点，试问存在实数m使得∠AOB=90°，求m值

2025-05-18 21:15:32

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回答1：

用圆系方程来解非常有效的，依题意三点A、B、O确定一个圆，AB是这个圆的直径，故有：
设所求x^2+y^2+x-6y+3=0,与直线x+2y+m=0交点的圆系方程为：x^2+y^2+x-6y+3+λ（x+2y+m）=0
整理成标准方程x^2+y^2+（1+λ）x+（2λ-6）y+3+λm=0，其圆心坐标为（-（1+λ）/2，-（λ-3））
在直线x+2y+m=0上，得11+2m=5λ------（1）又因为经过原点得3+λm=0-----（2）
由（1）（2）联解得m=-3或-5/2

回答2：

很简单啊，将直线带入到圆的方程，用含有字母M的式子表示出两个交点AB，在分别于圆心O联立方程，分别求出斜率，又因为要使∠AOB=90°，就必须满足两个斜率的乘积为-1就可以了，你试试看
望采纳