已知x,y是正数，且1⼀x+2⼀y=1求1⼀(x^2+x)+2⼀(2y^2+y)的最小值

由x,y>0,且(1/x)+(2/y)=1可设1/x=cos²t,2/y=sin²t,===>x=1/cos²t,y=2/sin²t.将其代入z=1/(x²+x)+2/(2y²+y)中，整理可得z=[(cost)^4/(cos²t+1)]+[(sint)^4/(sin²t+4)].(2)由柯西不等式可知，6z=[(cos²t+1)+(sin²t+4)]{[(cost)^4/(cos²t+1)]+[(sint)^4/(sin²+4)]}≥(sin²t+cos²t)²=1.===>z≥1/6.等号仅当sin²t=4/5,cos²t=1/5时取得，即当x=5,y=5/2时取得，故原式的最小值为1/6.

（换元法）解：（1）由x,y>0,且(1/x)+(2/y)=1可设1/x=cos²t,2/y=sin²t,===>x=1/cos²t,y=2/sin²t.将其代入z=1/(x²+x)+2/(2y²+y)中，整理可得z=[(cost)^4/(cos²t+1)]+[(sint)^4/(sin²t+4)].(2)由柯西不等式可知，6z=[(cos²t+1)+(sin²t+4)]{[(cost)^4/(cos²t+1)]+[(sint)^4/(sin²+4)]}≥(sin²t+cos²t)²=1.===>z≥1/6.等号仅当sin²t=4/5,cos²t=1/5时取得，即当x=5,y=5/2时取得，故原式的最小值为1/6.

你可以用含x的表达式来表示y，代入式子中，再化简，这是比较传统的方法，但是这道题中用这种方法不一定很简便，但是我暂时还想不到其他简便方法，这周还要去上学，作业比较紧张，下周回来我会做补充，希望能够等待些时日，谢谢，QQ：1584445083