1.证明方程ln（1+x^2）=x-1有仅只有一个实根 2.求y=（3／8）x^（8／3）-（3／2...

1、设f(x)=ln(1+x^2)-x+1
f'(x)=2x/(1+x^2)-1=-(1-x)^2/(1+x^2)<=0
所以f(x)单调递减
f(0)=1
f(10)≈-4.38
所以方程ln（1+x^2）=x-1有仅只有一个实根
2、y'=x^(5/3)-x^(-1/3)=x^(-1/3)*(x^2-1)=0
x=-1或x=1
所以极值点为(-1,-9/8)和(1,-9/8)

1、设f(x)=ln(1+x^2)-x+1
f'(x)=2x/(1+x^2)-1=-(1-x)^2/(1+x^2)<=0
所以f(x)单调递减
f(0)=1 f(10)≈-4.38
所以方程ln（1+x^2）=x-1有仅只有一个实根
2、y'=x^(5/3)-x^(-1/3)=x^(-1/3)*(x^2-1)=0
x=-1或x=1
所以极值点为(-1,-9/8)和(1,-9/8)

1).证明方程 ln（1+x^2）=x-1 （1） 有仅只有一个实根
证明：记：f(x)=ln(1+x²)-x+1
f '(x)=-(x-1)²/(1+x²)<=0 是单减函数
且f(0)=1>0 f[√(e³-1)]=3-√(e³-1)+1=4-√(e³-1)<0
可见在区间x：[0，√(e³-1)] 有一个根。
又由于f(x)的单调性，那么方程(1)有且仅有一个实根。

2） y=（3／8）x^（8／3）-（3／2）x^（2／3）的极值与极值点
y'=x^(8/3 - 1) - x^(2/3 - 1) = x^(5/3) - x^(-1/3)
令：y'=0 ⇒ x^(5/3) = x^(-1/3) ⇒ x² = 1
得到极值点：x = ±1
对应的极小值都是：y(min) = -9/8=-1.125