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已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为 F(0， 2 ) ，且长轴长与短轴长的比为 2 ：
已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为 F(0， 2 ) ，且长轴长与短轴长的比为 2 ：
2025-05-19 06:24:31
推荐回答（1个）
回答1：
（1）由已知可设椭圆C的方程为：
y
2
a
2
+
x
2
b
2
=1(a＞b＞0)
依题意：
a
b
=
2
且a
2
=b
2
+2解得：a
2
=4b
2
=2
故椭圆C的方程为：
y
2
4
+
x
2
2
=1
…（4分）
（2）证明：由（1）知：P（1，
2
）
由已知设PA：
y-
2
=k(x-1)
，即：
y=kx-(k-
2
)
PB：
y-
2
=-k(x-1)
，即：
y=-kx+(k+
2
)
…（6分）
由
y=kx-(k-
2
)
2
x
2
+
y
2
=4
得：
(
k
2
+2)
x
2
-2k(k-
2
)+
k
2
-2
2
k-2=0
设A（x
1
，y
1
）B（x
2
，y
2
）则：
x
1
+1=
2
k
2
-2
2
k
k
2
+2
故：
x
1
=
k
2
-2
2
k-2
k
2
+2
同理：
x
2
=
k
2
+2
2
k-2
k
2
+2
…（10分）
直线AB的斜率
k
AB
=
y
1
-
y
2
x
1
-
x
2
=
k(
x
1
+
x
2
)-2k
x
1
-
x
2
=
k
2
k
2
-4
k
2
+2
-2k
-4
2
k
k
2
+2
=
-8k
-4
2
k
=
2
所以：直线AB的斜率为定值．…（12分）
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