15问答网 > 已知圆C：x2+y2-2x+4y+2=0，是否存在满足以下两个条件的直线l：（1）斜率为1；（2）直线被圆C截得的弦为A

已知圆C：x2+y2-2x+4y+2=0，是否存在满足以下两个条件的直线l：（1）斜率为1；（2）直线被圆C截得的弦为A

2025-05-17 08:54:29

推荐回答（1个）

回答1：

解答：（本小题满分15分）
解：设直线l存在，其方程为y=x+b，它与圆C的交点设为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（2分）
则由

x2+y2?2x+4y+2＝0

y＝x+b

，
得2x²+2（b+1）x+b²+4b+2=0（*）（4分）
∴

x1+x2＝?(b+1)

x1?x2＝

b2+4b+2

（6分）
∴y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）=x1x2+b(x1+x2)+b2（8分）
由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，（10分）
∴2x1x2+b(x1+x2)+b2＝0，（11分）
即b²+4b+2-b（b+1）+b²=0，b²+3b+2=0，
∴b=-1或b=-2（13分）
容易验证b=-1或b=-2时方程（*）有实根．（14分）
故存在这样的直线l有两条，其方程是y=x-1或y=x-2．（15分）