已知f（x）=2x-1，g（x）=-2x，数列{a n } （n∈N * ）的各项都是整数，其前n项和为S n ，若点（a 2n-1

2025-05-17 14:59:17

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回答1：

（1）当n为偶数时，a_n =

，
∵f（x）=2x-1，g（x）=-2x，点（a_2n-1 ，a_2n ）在函数y=f（x）或y=g（x）的图象上，
∴a_2n =2a_2n-1 -1，或a_2n =-2a_2n-1 ，
当a_2n =2a_2n-1 -1时，2a_2n-1 =a_2n +1=n+1，∴a_2n-1 =

n+1

，
∵数列{a_n } （n∈N^* ）的各项都为整数，
∴n为奇数时，a_2n-1 =

n+1

，
令n=2k-1，k∈N^* ，则a_4k-3 =

2k-1+1

=k，即a₁ ，a₅ ，a₉ ，…，成首项为1，公差为1的等差数列；
当a_2n =-2a_2n-1 时，a_2n-1 =-

，
所以n为偶数时，a_2n-1 =-

，
令n=2k′，k′∈N^* ，则a_4k′-1 =-

2k′

=-k′，即a₃ ，a₇ ，a₁₁ ，…，成首项为-1，公差为-1的等差数列；
所以S₈ =a₁ +a₂ +a₃ +a₄ +a₅ +a₆ +a₇ +a₈
=（a₂ +a₄ +a₆ +a₈ ）+（a₁ +a₅ ）+（a₃ +a₇ ）
=

（2+4+6+8）+（1+2）+（-1-2）
=10；
（2）由（1）知，n为偶数时，a_n =

，且a₁ ，a₅ ，a₉ ，…，成首项为1，公差为1的等差数列，a₃ ，a₇ ，a₁₁ ，…，成首项为-1，公差为-1的等差数列，
所以S_4n =S_奇 +S_偶 =[（1+2+3+…+n）+（-1-2-3-…-n）]+（1+2+3+4+…+2n）=

2n(1+2n)

=2n² +n．
故答案为：（1）10；（2）2n² +n．