15问答网 > 已知a,b,c都为正数，且a+b+c=1,求证：a⼀(b+c)+b⼀(a+c)+c⼀(a+b)>=3⼀2

已知a,b,c都为正数，且a+b+c=1,求证：a⼀(b+c)+b⼀(a+c)+c⼀(a+b)>=3⼀2

已知a,b,c都为正数，且a+b+c=1,求证：a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)>=3/2

2025-05-14 10:34:00

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回答1：

令b+c=x,a+c=y,a+b=z
a=(y+z-x)/2,b=(x+z-y)/2,c=(x+y-z)/2
所以a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)
=(y+z-x)/2x+(x+z-y)/2y+(x+y-z)/2z
=[(y+z)/x +(x+z)/y +(x+y)/z]/2 -3/2
=[y/x +x/y +z/x +x/z +y/z +z/y]/2 -3/2
=[(y/x +x/y) +(z/x +x/z) +(y/z +z/y)]/2 -3/2
>=[2+2+2]/2 -3/2 {由于y/x +x/y>=2*根号(y/x * x/y)=2}
=3/2