蛮简单的哦，请看图片吧
用拉格朗日中值定理，可以化成（（根号x - 根号（x + 1））× cos（一个在根号x与根号x+1之间的数），根号x - 根号（x + 1）趋近于0，cos是一个有界函数，所以极限是0。
用和差化积公式：
lim(x趋向于正无穷大）|（sin跟号x-sin根号(x+1))|
= lim(x趋向于正无穷大）2|Cos((跟号x-根号(x+1))/2)| * |Sin((跟号x-根号(x+1))/2)|
<= lim(x趋向于正无穷大）2 |Sin(1/(2(跟号x+根号(x+1)))| = 0
所以 原极限= 0.
因为0≤|sin√x-sin√（x+1）|≤|√x-√（x+1）|=1/（√x+√（x+1））而lim0=0，lim1/（√x+√（x+1））=0 （x→+∞）所以由夹逼原理得lim|sin√x-sin√（x+1）|=0（x→+∞）故limsin√x-sin√（x+1）=0
（x→+∞）
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