若a1,a2,..an是非零实数，且成等差数列，求证1⼀a1a2+1⼀a2a3+1⼀a3a4+...+1⼀an-1an=n-1⼀a1an

设公差为d
因为：d=(a2-a1)/(2-1)=(a3-a1)/(3-1)=(a4-a1)/(4-1)=......=(an-a1)/(n-1)
则：(an-a1)=d*(n-1)
若d不等于0
因为：1/a1a2=(1/a1-1/a2)/d.....1/an-1an=(1/an-1-1/an)/d
则：1/a1a2+1/a2a3+1/a3a4+......+1/an-1an=
(1/a1-1/a2)/d+(1/a2-1/a3)/d.....+(1/an-1-1/an)/d=
(1/a1-1/a2+1/a2-1/a3+1/a3-1/a4+......+1/an-1-1/an)/d=
(1/a1-1/an)/d=（an-a1)/ana1/d=d*(n-1)/ana1/d=(n-1)/ana1
左右相等，则证明成立！
若d等于0
则a1=a2=......=an
显然，原式右边=1/a1的平方乘以n-1
原式左边一共为n-1项，所以原式左边=1/a1的平方乘以n-1
左右相等，则证明成立！

楼上的同学 符号搞错了。应该是
1/a(k)a(k+1)=(1/d)[1/a(k)-1/a(k+1)]
分两种情况：
1）当{an}为常数列时，很显然是，成立。
2）当公差d不等于零时；
1/a1a2=(1/a1-1/a2)/d;
1/a2a3=(1/a2-1/a3)/d;
....
1/an-1an=(1/an-1 -1/an)/d
以上等式相加得到
1/a1a2+1/a2a3+1/a3a4+...+1/an-1an=(1/a1-1/an)/d
右边化简就是结果。

设公差为d
1/a(k)a(k+1)=[a(k+1)-a(k)]/[da(k)a(k+1)]=(1/d)[1/a(k+1)-1/ak]
所以
1/a1a2+1/a2a3+1/a3a4+...+1/an-1an
=(1/d)[-1/a1+1/a2-1/a2+1/a3+...-1/(an-1)+1/an]
=(1/d)(1/an-1/a1)
=n-1/a1an