15问答网 > 证明在复数域上若m阶方阵A与n阶方阵B没有公共的特征根，则矩阵方程AX=XB只有零解。

证明在复数域上若m阶方阵A与n阶方阵B没有公共的特征根，则矩阵方程AX=XB只有零解。

2025-05-17 17:36:56

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回答1：

把X按列拉成向量vec(X)，那么原方程等价于
(I*A-B^T*I)vec(X)=0
其中I*A和B^T*I都是Kronecker乘积。注意I*A-B^T*I的特征值恰好是所有的λ_i-μ_j，其中λ_i和μ_j分别是A和B的特征值，从而结论成立。

也可以用上三角化来证明，比如P^{-1}AP=S和Q^{-1}BQ=T都是Jordan标准型，那么原方程等价于SY-YT=0，其中Y=PXQ^{-1}，然后可以逐列推出Y=0。