若n为自然数，试说明（n+11）^2-n^2,总可以被11整除

有过程最好，but要说明道理哈……

2025-05-24 05:52:44

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回答1：

用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，（n+11）^2-n^2=121 因为121/11=11
所以当n=1时，（n+11）^2-n^2可以被11整除

（2）假设当n=k时，（n+11）^2-n^2,可以被11整除
即（k+11）^2-k^2,可以被11整除
则当n=k+1
（k+1+11）^2-(k+1)^2
=(k+11)^2+2*(k+11)+1-k^2-2k-1
=(k+11)^2-k^2+22
因为（k+11)^2-k^2 能被11整除 22/11=2
所以（k+1+11）^2-(k+1)^2能被11整除
即当n=k+1时命题成立

总上所述，n属于自然数，都有（n+11）^2-n^2,总可以被11整除

回答2：

（n+11）^2-n^2=22*n+121=11*(2n+11)
所以n不管为哪个自然数,该式子都被11整除吧

回答3：

根据公式n^2-m^2=(n+m)*(n-m)有

（n+11）^2-n^2=[（n+11）+n]*[（n+11）-n]=(2n+11)*11
即得证