| 解：（1）在直角梯形ABCD中， ∵QN⊥AD，∠ABC=90°， ∴四边形ABNQ是矩形， ∵QD=t，AD=3， ∴BN=AQ=3-t， ∴NC=BC-BN=4-（3-t）=t+1， ∵AB=3，BC=4，∠ABC=90°， ∴AC=5， ∵AB∥QN， ∴MN∥AB， ∴ 即 ∴ | |
| （2）当QD=CP时，四边形PCDQ构成平行四边形， ∴当t=4-t，即t=2时，四边形PCDQ构成平行四边形； | |
| （3）∵MN∥AB， ∴△MNC∽△ABC， 要使射线QN将△ABC的面积平分，则△MNC与△ABC的面积比为1：2，即相似比为 ∴ 即 ∴ ∴ ∴ ∵△ABC的周长的一半 ∴不存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分； | |
| （4）分3种情况： ①如图（1）， 当PM=MC时，△PMC为等腰三角形， 则PN=NC，即3-t-t=t+1， ∴ 即 ②如图（2），当CM=PC时，△PMC为等腰三角形， 即 ∴ ③如图（3），当PM=PC时，△PMC为等腰三角形， ∵PC=4-t，NC=t+1， ∴PN=2t-3， 又∵ ∴ 由勾股定理可得 解得 即当 综上所述，当t= | |
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