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已知函数f（x）=xx+1，数列{an}满足a1=1，an+1=f（an）．（1）求证：数列{1an}是等差数列；（2）设bn=ana

2025-05-13 06:42:46

推荐回答（1个）

回答1：

解；（1）∵a_n+1=f（a_n）=

an

an+1

，
∴

1

an+1

=1+

1

an

，
即

1

an+1

-

1

an

=1，又

1

a1

=1
∴数列{

1

an

}是以1为首项，以1为公差的等差数列．
（2）∵（1）得

1

an

=1+（n-1）×1=n，∴a_n=

1

n

∵b_n=a_na_n+1，∴b_n=

1

n×(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

S_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

?

1

4

+…+

1

n

?

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1
又知{S_n}为递增数列，∴S_n≥S₁=b₁=

1

1×2

＝

1

2

∴

1

2

≤Sn＜1

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