计算三重积分∫∫∫ xydxdydz 其中Ω为三个坐标面及平面x+y+z=1所围成的闭区域

计算过程如下：

∫(0,1)x dx∫(0,1-x) y dy∫(0,1-x-y) dz

=∫(0,1)x dx∫(0,1-x) y dy (1-x-y)

=∫(0,1)x dx∫(0,1-x) (1-x)^3 /2 dy

=∫(0,1) x^/2 - 3x^3 /4 + x^4/2 -x^5/8 dx

或

∫∫∫Ωzdxdydz

=∫(0→2)zdz∫∫dxdy

=∫(0→2)z·(2-z)²/2dz=2/3

1、乘法与因式分解：

a2-b2=(a+b)(a-b)

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

2、三角不等式：

|a+b|≤|a|+|b|

|a-b|≤|a|+|b|

|a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|

3、一元二次方程的解：

-b+√(b2-4ac)/2a-b-b+√(b2-4ac)/2a

∫(0,1)x dx∫(0,1-x) y dy∫(0,1-x-y) dz

=∫(0,1)x dx∫(0,1-x) y dy (1-x-y)

=∫(0,1)x dx∫(0,1-x) (1-x)^3 /2 dy

=∫(0,1) x^/2 - 3x^3 /4 + x^4/2 -x^5/8 dx

扩展资料：

设三元函数f(x，y，z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为rᵢ（i=1,2,...,n），体积记为Δδᵢ。

||T||=max{rᵢ}，在每个小区域内取点f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ），作和式Σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)。

参考资料来源：百度百科-三重积分

∫(0,1)x dx∫(0,1-x) y dy∫(0,1-x-y) dz

=∫(0,1)x dx∫(0,1-x) y dy (1-x-y)

=∫(0,1)x dx∫(0,1-x) (1-x)^3 /2 dy

=∫(0,1) x^/2 - 3x^3 /4 + x^4/2 -x^5/8 dx

或

∫∫∫Ωzdxdydz

=∫(0→2)zdz∫∫dxdy

=∫(0→2)z·(2-z)²/2dz=2/3

直角坐标系法

适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法

⑴先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。

①区域条件：对积分区域Ω无限制；

②函数条件：对f（x,y,z）无限制。

⑵先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。

①区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成

②函数条件：f（x，y）仅为一个变量的函数。

就用直角坐标计算