我认为应该只能向肇事车的挂靠公司或者车主索赔。向另一辆车的挂靠公司索赔就如向另一辆车的保险公司索赔一样没有依据。如你所说如果肇事车交强险过期，那就只能由车主或挂靠公司赔付了。车主和司机之间如果是雇佣关系应当由车主承担赔偿责任，只有在司机故意或重大过失的情况下车主才可以向司机追偿。
最高人民法院关于审理人身损害赔偿案件适用法律若干问题的解释相关规定：
第九条 雇员在从事雇佣活动中致人损害的，雇主应当承担赔偿责任;雇员因故意或者重大过失致人损害的, 应当与雇主承担连带赔偿责任。雇主承担连带赔偿责任的，可以向雇员追偿。
另外，可保全车主车辆或财产，以保障将来生效判决的执行。
只能找律师代理起诉司机走司法程序维权，除非对方愿意私了
起诉法院
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