急求答案！X的平方+(Y-5)的平方=16绕x轴旋转所得的体积．

以（0，-5）为O' 建立一个极坐标系(r, zeta).
这个圆的方程是，r = 4
在这个圆内的任意小面积元是：r*dr*dzeta
这个小面积元绕x轴旋转所得的体积是：
2*Pi*[5 - rsin(zeta)] * r*dr*dzeta = dV
对这个式子从 r=[0,4], zeta = [0,2Pi] 积分，就是环的体积了。
上式分为两部分，其中含有 sin 的部分由于对 zeta = [0,2Pi] 积分，结果为零，所以只剩 2*Pi* 5 * r*dr*dzeta 这部分积分，容易算出，结果是：160*Pi^2

另一方面，圆环体积公式：V＝2 * Pi^2 * R * r^2
其中，R 为环体半径，r 为环体截面半径，
则，R = 5 , r = 4 , 代入公式，得 V = 160*Pi^2
与前面积分结果一致。

解：所求旋转体的体积=2∫<0,4>{π[5+√(16-x²)]²-π[5-√(16-x²)]²}dx
(自己作图分析)
=40π∫<0,4>√(16-x²)dx
=40π∫<0,π/2>4cosθ*4cosθdθ
(令x=4sinθ)
=320π∫<0,π/2>[1+cos(2θ)]dθ
(应用余弦倍角公式)
=320π*(π/2)
=160π².

这个小面积元绕x轴旋转所得的体积是：
2*Pi*[5
-
rsin(zeta)]
*
r*,
r
=
4
,
代入公式，得
V
=
160*Pi^2
与前面积分结果一致。