在平面直角坐标系xOy中，直线l：x-y+3=0与圆O：x 2 +y 2 =r 2 （r＞0）相交于A，B两点．若 O

2025-05-21 12:49:54

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回答1：

设点A（x₁ ，y₁ ），B（x₂ ，y₂ ）．
联立x-y+3=0与圆O：x² +y² =r² （r＞0）
，消去y得到关于x的一元二次方程2x² +6x+9-r² =0，
∵直线l与圆O相较于A、B两点，则△=36-8（9-r² ）＞0．（*）
∴x₁ +x₂ =-3，x₁ ?x₂ =

9- r 2

．
设点C（x₀ ，y₀ ）．
∵

，且点C也在圆O上，
（x₁ ，y₁ ，）+2（x₂ ，y₂ ）=

（x₀ ，y₀ ）．
又∵y₁ =x₁ +3，y₂ =x₂ +3．
∴可得：

x 0 =

x 1 +2 x 2

y 0 =

x 1 +2 x 2 +9

代入圆O的方程得（

x 1 +2 x 2

）² +（

x 1 +2 x 2 +9

）² =r² ，
化为（x₁ +2x₂ ）² +（x₁ +2x₂ +9）² =3r² ，
再与x₁ +x₂ =-3，x₁ ?x₂ =

9- r 2

联立
消去x₁ ，x₂ 化为r² =18，满足（*）．
故答案为：3