15问答网 > 设xyz是正实数且满足x+y+z=3,求x^2+y^2+z^3的最小值（注意z是三次）

设xyz是正实数且满足x+y+z=3,求x^2+y^2+z^3的最小值（注意z是三次）

2025-05-09 21:30:05

推荐回答（3个）

回答1：

设L(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^3 - λ(x+y+z-3)
然后就列方程组：
dL/dx=0; dL/dy=0; dL/dz=0; dL/dλ=0
可以求出来λ，进而求出来取最值的(x, y, z)，取最小值，就能解决了。

回答2：

【俊狼猎英】团队为您解答~
固定z，x+y=3-z，x^2+y^2>=(x+y)^2/2=(3-z)^2/2，当且仅当x=y=(3-z)/2时等号成立
x^2+y^2+z^3>=z^3+z^2/2-3z+9/2（设为f(z)）
f'(z)=3z^2+z-3，
f'(z)=0解得z0=(√37-1)/6（舍掉负根），f''(z0)>0是极小值点
f(z0)=z0^2/6-2z0+9/2=14/3-37z0/18=(541-37√37)/108

回答3：

设xyz是正实数且满足x+y+z=3,求x^2+y^2+z^3的最小值 （注意z是三次）

设xyz是正实数且满足x+y+z=3,求x^2+y^2+z^3的最小值（注意z是三次）