∑x^2+y^2+z^2=1求∫(x+y+z)^2

2025-05-17 16:28:21

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回答1：

题目不全，不过目测是求第一类曲面积分∫∫(x+y+z)^2dS，参考下面详细分析过程：

思路：注意奇偶对称性——奇函数在对称区间的积分等于0

分析：

被积函数(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx，其中xy关于x是奇函数，而积分曲面∑关于坐标面x=0（即yoz平面）对称，根据上述奇偶对称性可知：

∫∫2xydS=0，同理：∫∫2yzdS=∫∫2zxdS=0

另外，注意曲面∑满足：x^2+y^2+z^2=1，可以代入到被积函数，

所以：

∫∫(x+y+z)^2dS

= ∫∫(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx)dS

=∫∫(1+2xy+2yz+2zx)dS

=∫∫dS+∫∫2xydS+∫∫2yzdS+∫∫2zxdS

=∫∫dS

=4π

其中，∫∫dS几何意义为曲面∑即球面的表面积。