设各项均为正数的数列｛an｝的前n项和为Sn满足a눀n＋1＝4Sn＋4n＋1，n∈N且a2，a5，

1、
4S1=a²2-4*1-1
S1=a1
a²2=4a1+5
a2=√（4a1+5）

2、
an=Sn-S（n-1）
4an=4Sn-4S（n-1）
=a²（n+1）-4n-1-[a²n-4（n-1）-1]
=a²（n+1）-4-a²n
a²n+4an+4=a²（n+1）
（an+2）²=a²（n+1）
各项均匀为正数
an+2=a（n+1）
a1+2=a2=√（4a1+5）
a1²+4a1+4=4a1+5
a1=1
{an}是一个首项是1，公差是2的等差数列
an=2n-1

其他的我还在帮你解答 记得先采纳哦 那才是我继续努力的动力哦 O(∩_∩)O谢谢

(1 ) 4S1=a²2-4*1-1

S1=a1

a²2=4a1+5

a2=√（4a1+5）

an=Sn-S（n-1）

4an=4Sn-4S（n-1）

=a²（n+1）-4n-1-[a²n-4（n-1）-1]

=a²（n+1）-4-a²n

a²n+4an+4=a²（n+1）

（an+2）²=a²（n+1）

各项均匀为正数

an+2=a（n+1）

a1+2=a2=√（4a1+5）

a1²+4a1+4=4a1+5

a1=1

{an}是一个首项是1，公差是2的等差数列an=2n-1 。

(2) a2=3,a5=9,a14=27,所以数列bn 的首项为3，公比为3，所以，bn=3x3^n-1=3^n,Tn=3(1-

3^n)/(1-3)=3^(n+1)-3/2, Tn+3/2=3^(n+1)/2，（Tn＋3/2）k≥3n-6 ， 即k≥3n-6/3^(n+1)/2=2n-

4/3^n，令cn=2n-4/3^n,则 cn+1-cn=10-4n/3^(n+1)， 当n>=3时， cn+1cn

， 故当n=3时，cn最大。c3=2/27，由题知，k>=c3=2/27，即k的取值范围为k>=2/27。

由@幸运的活雷锋的回答可以知道an=2n-1;bn=3^n。由题意得：Tn=[3^(n+1)-3]/2,带入原题，可得：k[3^(n+1)/2]≥3n-6,即k≥(2n-4)/3^n恒成立。也就是说k≥(2n-4)/3^n的最大值。
现在来探讨f(x)=(2x-4)/3^x的最值。f(x)一阶导数=[2-(2x-4)ln3]/3^x,令[2-(2x-4)ln3]/3^x=0，解得：x=2+1/ln3；当x>2+1/ln3时f(x)一阶导数<0,f(x)单减；x<2+1/ln3时f(x)一阶导数>0,f(x)单增.
故在x=2+1/ln3时，f(x)取得极大值即最大值。由于n∈N,故在2+1/ln3附近取值只能取2或者3，只需要比较2或3时(2n-4)/3^n的大小即可。n=2,(2n-4)/3^n=0
互帮互助，和谐社会。谢谢。

Tn=[3^(n+1)-3]/2,带入原题，可得：k[3^(n+1)/2]≥3n-6,即k≥(2n-4)/3^n恒成立。也就是说k≥(2n-4)/3^n的最大值。
现在来探讨f(x)=(2x-4)/3^x的最值。f(x)一阶导数=[2-(2x-4)ln3]/3^x,令[2-(2x-4)ln3]/3^x=0，解得：x=2+1/ln3；当x>2+1/ln3时f(x)一阶导数<0,f(x)单减；x<2+1/ln3时f(x)一阶导数>0,f(x)单增.
故在x=2+1/ln3时，f(x)取得极大值即最大值。由于n∈N,故在2+1/ln3附近取值只能取2或者3，只需要比较2或3时(2n-4)/3^n的大小即可。n=2,(2n-4)/3^n=0